Уравнения динамики твердого тела. Общий случай.

В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2 независимых векторных уравнения.

Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые справедливы для системы точек в целом.

Обратимся к опытам.

Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение - траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.

Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную плоскость (рис. 1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня в горизонтальном направлении.

Опыт, который был представлен на рис. 2.2а,в, свидетельствует о том, что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее момент относительно оси вращения.

Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс (физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс, находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.26).

Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с “послушной” и “непослушной” катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления момента силы относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис. 3.3а), либо накатывается на нитку (рис. 3.36). Держа нить достаточно близко к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую “непослушную” катушку.

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики, сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения твердого тела можно использовать:

1. Уравнение движения центра масс

Здесь - скорость центра масс тела, сумма всех внешних сил, приложенных к телу.

2. Уравнение моментов

Здесь - момент импульса твердого тела относительно некоторой точки, М - суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.

К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого тела, необходимо дать следующие комментарии:

1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных точек, невлияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела.

2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели абсолютно твердого тела локальные деформации, возникающие в области приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы при этом не изменится.

3. Векторы и М в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе точки. Во многих задачах и М удобно рассматривать относительно движущегося центра масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально

совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела относительно движущегося центра масс О связан с моментом импульса относительно неподвижной точки О соотношением, полученным в конце лекции №2:

где - радиус-вектор от О к - полный импульс тела. Аналогичное соотношение легко может быть получено и для моментов силы:

где - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело. Поскольку точка О неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):

Здесь учтено, что

Величина есть скорость точки О в лабораторной системе Учитывая (3.4), получим

Поскольку движущаяся точка О - это центр масс тела, то масса тела), то есть уравнение моментов относительно движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной точки. Существенно отметить, что в этом случае, как было показано в конце лекции №2, скорости всех точек тела при определении следует брать относительно центра масс тела.

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное (вместе с системой начало которой находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанном с телом) и вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно центра масс (или оси, проходящей через центр масс) в том же виде, как и относительно неподвижного начала (или неподвижной оси).

4. Если не зависит от угловой скорости тела, от скорости центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать

независимо друг от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения (3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося твердого тела в вязкой среде.

Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и закрепленного в центре масс.

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением

Здесь - это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси (см. лекцию №2). М - это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), где - составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, - плечо силы относительно оси.

Пусть к некоторому телу, которое может вращаться около неподвижной оси О и имеет момент инерции приложена сила с плечом (рис. 62). Определим угловое ускорение приобретаемое телом под действием указанной силы.

Допустим, что за время тело поворачивается с угловой скоростью ( на угол причем точка приложения силы описывает дугу Работа, совершаемая силой за время будет равна или, иначе, Эта работа идет на увеличение кинетической энергии вращения тела, т. е.

Но при неизменности момента инерции тела

Стало быть (произведя сокращение на и введя момент силы получаем:

Мы видим, что это основное уравнение динамики вращательного движения по своему начертанию аналогично основному уравнению динамики поступательного движения

Однако, как и следовало ожидать, в уравнении (13) вместо силы фигурирует момент силы, вместо массы - момент инерции и вместо линейного ускорения - угловое ускорение.

Приняв во внимание возможность изменения момента инерции тела во время вращения, мы вместо уравнения (13) получили бы уравнение

аналогичное уравнению

В уравнение (14) входит величина Выясним ее физический смысл. При вращательном движении тела каждая его частица с массой описывает окружность некоторого радиуса имея при этом некоторую скорость (рис. 63). Произведение есть количество движения данной частицы. Произведение количества движения частицы на кратчайшее расстояние частицы от какой-либо оси, т. е. величина есть момент количества движения относительно оси. Момент количества движения относительно оси рассматривают как вектор, направленный по оси в ту сторону, куда нужно смотреть, чтобы видеть вращение происходящим по часовой стрелке.

Взяв сумму моментов количества движения всех частиц, составляющих вращающееся тело, получим момент количества движения

всего данного тела:

или, вынося за знак суммы общий для всех точек множитель со и замечая, что есть момент инерции находим:

Таким образом, момент количества движения тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции на угловую скорость.

Заметим, что момент количества движения вращающегося тела часто называют импульсом вращения.

Свободные оси. Основное уравнение динамики вращательного движения справедливо для вращения относительно любой возможной оси. Следует, однако, отметить, что в отношении характера и интенсивности взаимодействия вращающегося тела с опорами оси вращения не все оси равноценны.

Рис. 64 Врашение тела вокруг произвольной (а) и свободной (б) осей.

Рис. 65 Свободные оси палочки (а) и диска (б)

Возможны два случая: ось вращения такова, что центробежные силы инерции, развиваемые отдельными материальными точками тела, не уравновешиваются относительно этой оси (рис. 64, а); тогда тело при вращении оказывает Соковое давление на подшипники. Но может случиться, что все центробежные силы инерции уравновешиваются относительно оси вращения (рис. 64, б); такую ось называют свободной осью.

Если тело имеет ось полной симметрии, то, очевидно, эта ось симметрии и будет свободной осью.

Можно доказать, что во всяком теле существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси.

В отношении устойчивости вращения небезразлично, какая именно из свободных осей служит осью вращения Опыт и теория показывают, что вращение около осей с наибольшим и наименьшим

моментом инерции отзывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом, инерции - неустойчивым. Так, если палочку подвесить за конец на нити и другой конец нити привести в быстрое вращение при помощи центробежной машины (рис. 65, а), то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпендикулярной к длине палочки и проходящей через ее середину. Это и есть свободная ось вращения, причем момент инерции палочки при таком положении оси - максимальный.

Точно так же будет вращаться в горизонтальной плоскости тяжелое кольцо или диск (рис. 65, б).

Понятие о свободной оси вращения имеет большое значение для техники. Именно, надо заставлять вращающиеся части машины вращаться около их свободных осей, или, как говорят, надо хорошо их центрировать, иначе давление на ось, особенно при больших скоростях, может иметь вредные последствия вплоть до поломки машины.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии . Поскольку , то или .

Учитывая, что , получим . Следовательно, момент силы,

действующей на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение. Если ось вращения совпадает со свободной осью (см. 7.7), то имеет место векторное равенство

Это равенство представляет собой основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Пример 4.5.1. Тонкий стержень длиной и массой вращается вокруг неподвижной оси с угловым ускорением . Ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину. Определить момент силы, действующий на стержень.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения вращающий момент связан с угловым ускорением следующим соотношением: ; где момент инерции стержня относительно оси вращения. Т.к. ось вращения проходит через центр масс стержня, то .

Следовательно, момент силы, действующий на стержень, .

Ответ: .

Пример 4.5.2. Вал в виде сплошного цилиндра массой насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан нерастяжимый шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой . С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

Сделаем чертеж (рис. 4.5.1). Груз опускается с ускорением . На него действуют силы тяжести и натяжения шнура . Вал вращается против часовой стрелки с угловым ускорением . На вал действуют силы тяжести , сила реакции со стороны оси, на которую вал опирается, и сила реакции со стороны шнура . Вращающий момент создает только сила , т.к. линия действия сил и проходит через ось вращения (плечо этих сил равно 0).

Основное уравнение динамики поступательного движения груза имеет вид:

. В проекции на ось Oy: .

Основное уравнение динамики вращательного движения вала имеет вид: .

Если сила, действующая на тело, создает момент, способствующий вращению в заданном направлении, то ее момент считаем положительным (направление вектора момента силы совпадает с направлением углового ускорения ), если препятствует – момент считаем отрицательным (направления и противоположны). Следовательно, в скалярной форме (в проекции на направление углового ускорения) основное уравнение динамики вращательного движения будет иметь вид: .

Учитывая, что ось вращения проходит через центр масс цилиндрического вала перпендикулярно плоскости его основания , где радиус основания цилиндра, а вращающий момент (плечо силы равно радиусу основания цилиндра), то.

По третьему закону Ньютона (шнур нерастяжим), поэтому . Тангенциальное ускорение точек, лежащих на ободе вала, связано с его угловым ускорением соотношением: . С таким же ускорением движется любая точка шнура, на котором подвешен груз. Следовательно, , откуда . Подставив в уравнение (1), получим:и .

Ответ: .

Пример 4.5.3. Через блок в виде диска, имеющего массу , перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами и . С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.

Решение:

Сделаем чертеж (рис. 4.5.2). Первый груз будет двигаться поступательно вверх с ускорением , второй – опускаться с таким же ускорением. Уравнения поступательного движения грузов в векторной форме имеют вид .

В проекции на направление оси :

, откуда .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения . При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке, следовательно, сила способствует вращению , а сила тормозит вращение . Поэтому в скалярной форме (в проекции на направление углового ускорения), т.к. плечо сил равно радиусу диска .

Учитывая, что момент инерции диска , а линейное ускорение грузов равно

тангенциальному ускорению точек обода диска, связанного с угловым ускорением соот-

ношением , то , откуда . . В скалярной форме (в проекции на направление углового ускорения)

Ответ: .

Твердого тела вокруг неподвижной оси.

Момент импульса твердого тела при вращательном движении вокруг оси z вычисляется как

Тогда уравнение динамики вращательного движения примет вид:

Если тело твердое, то , поэтому, с учетом того, что (угловое ускорение), получаем выражение

Это уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси :

угловое ускорение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси прямо пропорционально величине момента внешних сил относительно этой оси .

Замечание . По аналогии со вторым законом Ньютона, в котором ускорение определяется силой, уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела дает связь между угловым ускорением и моментом силы. В этом смысле момент инерции тела играет роль меры инертности при вращательном движении .

Примеры вычисления моментов инерции.

1) Момент инерции тонкого кольца (прямого тонкостенного цилиндра) массы m и радиуса R относительно оси z, перпендикулярной плоскости кольца, проходящей через центр кольца

2) Момент инерции диска (сплошного цилиндра) массы m и радиуса R относительно оси z, перпендикулярной к плоскости диска, проходящей через центр диска (сплошного цилиндра).

Выделим тонкий цилиндр радиусом r и толщиной dr .

Масса этого цилиндра , .

3) Момент инерции тонкого стержня относительно оси z, являющейся срединным перпендикуляром. Масса стержня m, длина L.

Выделим на расстоянии x от оси маленькую часть стержня длиной dx.

Масса этой части и . Поэтому

.

4) Момент инерции тонкостенного шара относительно любой оси симметрии z. Масса шара m, радиус R.

Выделим на поверхности сферы кольцевой сегмент, для которого ось z является осью симметрии. Сегмент опирается на малый центральный угол dj, положение сегмента определяется углом j, отсчитываемым от плоскости экватора, перпендикулярной оси z.

Тогда радиус кольца ,

его масса , поэтому

или

5) Момент инерции сплошного шара относительно любой оси симметрии z. Масса шара m, радиус шара R.

Представим шар как набор вложенных друг в друга тонкостенных сфер переменного радиуса r и толщиной dr . Масса одной такой сферы .

Момент инерции такой сферы .

.

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Как связаны между моменты инерции твердого тела относительно двух параллельных осей?

Рассмотрим две параллельные оси z 1 и z 2 . Введем две системы координат так, чтобы их оси х и у были параллельны друг другу, причем вторая система координат была получена параллельным переносом из первой на вектор, перпендикулярный осям z 1 и z 2 . Тогда расстояние между осями будет равно .

В этом случае координаты любой i- й малой частицы тела связаны соотношениями

Квадрат расстояния от этой точки до первой оси z 1:

и до второй оси z 2 .

Вычисляем момент инерции относительно второй оси:

В этом равенстве

Момент инерции тела относительно оси z 1 ,

Учтём, что и (где x 1С и y 1С – координаты центра масс тела в 1й системе координат) и получим

Если предположить, что ось z 1 проходит через центр масс тела , то x 1С =0 и y 1С =0, поэтому в этом случае выражение упрощается:

Это выражение носит название теоремы Гюйгенса-Штейнера : момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела и квадрата расстояния между осями, умноженного на массу тела .

Пример . Момент инерции стрежня относительно оси, проходящей через край стержня, перпендикулярно ему, равен сумме момента инерции относительно срединной оси и массе, умноженный на квадрат половины длины стержня:

.

Пример . Рассмотрим движение грузов на невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через блок (диск). Массы грузов m 1 и m 2 (m 1 < m 2), масса блока m. Трения в оси блока нет. Нить не скользит по блоку. Силами сопротивления в воздухе пренебрегаем. Найти ускорение грузов. Радиус блока R.

Решение . Фиксируем систему отсчета, в которой ось блока неподвижная. Предполагаем, что эта система отсчета инерциальная. Ось z системы координат в этой системе отсчёта направим вдоль оси вращения блока («от нас»).

«Мысленно» разбиваем систему на части и находим силы между частями системы в соответствие со вторым и третьим законами Ньютона.

При этом учтём, что нить невесомая (масса любой части нити равна нулю), поэтому, если кусок нити движется под действием (растягивающих) сил, то из второго закона Ньютона

СКОРОСТЬ - одна из основных величин, применяемых для описания движения материальной точки (тела). С. (мгновенная скорость) – векторная величина, равная пределу отношения перемещения точки к промежутку времени, за который это перемещение произошло, при неограниченном уменьшении последнего. С. направлена по касательной к траектории движения тела. Единица С. в СИ - метр в секунду (м/с ).

СКОРОСТЬ ЗВУКА - скорость распространения звуковых волн в среде. В газах с.з. меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях меньше, чем в твердых телах. В воздухе при нормальных условиях с.з. 330 м/с , в воде - 1500 м/с , в тв. телах 2000 - 6000 м/с .

СКОРОСТЬ РАВНОМЕРНОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ – векторная физическая величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за который это перемещение произошло.

СКОРОСТЬ УГЛОВАЯ – см. угловая скорость .

СКОРОСТЬ ФАЗОВАЯ – физическая величина, равная произведению длины волны на частоту. Скорость, с которой распространяется в пространстве фаза монохроматической синусоидальной волны.

УСКОРЕНИЕ - векторная величина, применяемая для описания движения материальной точки, и равная пределу отношения вектора изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, при неограниченном уменьшении последнего. При равнопеременном (равноускоренном) прямолинейном движении У. равно отношению вектора изменения скорости к соответствующему промежутку времени. При криволинейном движении складывается из касательного (описывает изменение модуля скорости) и нормального (описывает изменение направления скорости) у. Единица в СИ - м/с 2 .

УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ - ускорение, сообщаемое свободной материальной точке силой тяжести. Зависит от географической широты места и его высоты над уровнем моря. Стандартное (нормальное) значение g= 9,80665 м/с 2 .

Второй и третий законы Ньютона.

Импульс тела. Закон сохранения импульса.

Механическая работа. Мощность.

Потенциальная энергия.

Закон сохранения энергии.

МОМЕНТ СИЛЫ относительно некоторой оси – физическая величина, описывающая вращательный эффект силы при действии ее на твердое тело и равная произведению модуля силы на плечо силы (сила расположена в плоскости, перпендикулярной оси вращения). Если вращение происходит против часовой стрелки моменту силы приписывается знак "+", если по часовой стрелке "-". Единица измерения в СИ ньютон-метр (Н . м ).

ИНЕРЦИЯ - явление сохранения скорости прямолинейного равномерного движения или состояния покоя при отсутствии или компенсации внешних воздействий.

Теорема Гюйгенса - Штейнера: Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

,

где - полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Основное уравнение динамики вращательного движения

Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

с учетом (5.9)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.

Кинетическая энергия вращательного движения - энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела - его угловая скорость () иугловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения - момент импульса относительно оси вращения z:

и кинетическая энергия

где I z - момент инерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I 1 , I 2 и I 3 . Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

где ω 1 , ω 2 , и ω 3 - главные компоненты угловой скорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:

, где -тензор инерции.

Закон всемирного тяготения. Сила тяжести.