Проекции точки. комплексный чертеж. Графическое отображение точки на комплексном чертеже Комплексный чертеж и наглядное изображение точки
Для построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Например, трудно вычертить вид сверху детали, приведенной на рис. 139, не строя горизонтальных проекций точек А, В, С, D, Е, F и др.
Задача нахождения проекций точек по одной, заданной на поверхности предмета, решается следующим образом. Сначала находят проекции поверхности, на которой расположена точка. Затем, проведя линию связи к проекции, где поверхность изображается линией, находят вторую проекцию точки. Третья проекция лежит на пересечении линий связи.
Рассмотрим пример.
Даны три проекции детали (рис. 140, а). Задана горизонтальная проекция а точки А, лежащей на видимой поверхности. Нужно найти остальные проекции этой точки.
Прежде всего надо провести вспомогательную прямую. Если даны два вида, то место вспомогательной прямой на чертеже выбирают произвольно, правее вида сверху, так чтобы вид слева оказался на нужном расстоянии от главного вида (рис. 141).
Если три вида уже построены (рис. 142, а), то место вспомогательной прямой произвольно выбирать нельзя; нужно найти точку, через которую она пройдет. Для этого достаточно продолжить до взаимного пересечения горизонтальную и профильную проекции оси симметрии и через полученную точку k (рис. 142, б) провести под углом 45° отрезок прямой, который и будет вспомогательной прямой.
Если осей симметрии нет, то продолжают до пересечения в точке k 1 горизонтальную и профильную проекции любой грани, проецирующейся в виде отрезков прямой (рис. 142, б).
Проведя вспомогательную прямую, приступают к построению проекций точки (см. рис. 140, б).
Фронтальная а" и профильная а" проекции точки А должны располагаться на соответствующих проекциях поверхности, которой принадлежит точка А. Находят эти проекции. На рис. 140, б они выделены цветом. Проводят линии связи, как указано стрелками. В местах пересечения линий связи с проекциями поверхности находятся искомые проекции а" и а".
Построение проекций точек В, С, D показано на рис. 140, в линиями связи со стрелками. Заданные проекции точек цветные. Линии связи проводят к той проекции, на которой поверхность изображается в виде линии, а не в виде фигуры. Поэтому сначала находят фронтальную проекцию с" точки С. Профильная проекция с точки С определяется пересечением линий связи.
Если поверхность ни на одной проекции не изображается линией, то для построения проекций точек надо применять вспомогательную плоскость. Например, дана фронтальная проекция d точки А, лежащей на поверхности конуса (рис. 143, а). Через точку параллельно основанию проводят вспомогательную плоскость, которая пересечет конус по окружности; ее фронтальная проекция - отрезок прямой, а горизонтальная - окружность диаметром, равным длине этого отрезка (рис. 143, б). Проведя к этой окружности из точки а" линию связи, получают горизонтальную проекцию а точки А.
Профильную проекцию а" точки А находят обычным способом на пересечении линий связи.
Таким же приемом можно найти проекции точки, лежащей, например, на поверхности пирамиды или шара. При пересечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию и проходящей через заданную точку, образуется фигура, подобная основанию. На проекциях этой фигуры лежат проекции заданной точки.
Ответьте на вопросы
1. Под каким углом проводят вспомогательную прямую?
2. Где проводят вспомогательную прямую, если заданы виды спереди и сверху, а надо построить вид слева?
3. Как определить место вспомогательной прямой при наличии трех видов?
4. В чем заключается способ построения проекций точки по одной заданной, если одна из поверхностей предмета изображается линией?
5. Для каких геометрических тел и в каких случаях проекции точки, заданной на их поверхности, находят, пользуясь вспомогательной плоскостью?
Задания к § 20
Упражнение 68
Запишите в рабочей тетради, каким проекциям точек, обозначенных на видах цифрами, соответствуют точки, обозначенные на наглядном изображении буквами в примере, указанном Вам преподавателем (рис. 144, а-г).
Упражнение 69
На рис. 145, а-б буквами обозначено лишь по одной проекции некоторых из вершин. Найдите в примере, указанном Вам преподавателем, остальные проекции этих вершин и обозначьте их буквами. Постройте в одном из примеров недостающие проекции точек, заданных на ребрах предмета (рис. 145, г и д). Выделите цветом проекции ребер, на" которых находятся точки. Задание выполните на прозрачной бумаге, наложив ее на страницу учебника. Перечерчивать рис. 145 не надо.
Упражнение 70
Найдите недостающие проекции точек, заданных одной проекцией на видимых поверхностях предмета (рис. 146). Обозначьте их буквами. Заданные проекции точек выделите цветом. Решить задание Вам поможет наглядное изображение. Задание можно выполнить как в рабочей тетради, так и на прозрачной бумаге, наложив ее на страницу учебника. В последнем случае перечерчивать рис. 146 не надо.
Упражнение 71
В примере, указанном Вам преподавателем, перечертите три вида (рис. 147). Постройте недостающие проекции точек, заданных на видимых поверхностях предмета. Заданные проекции точек выделите цветом. Обозначьте буквами все проекции точек. Для построения проекций точек воспользуйтесь вспомогательной прямой. Выполните технический рисунок и нанесите на нем заданные точки.
Координаты точки принято писать в скобках рядом с обозначением точки. Например: запись В (3, 2, 3) означает, что координаты точки В следующие: Х=3; Y=2; Z=3. На рисунке 43 показаны построения на аксонометрическом изображении и на эпюре точки В по заданным координатам.
Рисунок 43 – Построение точки по заданным координатам
Материал для закрепления:
1. Указать условия, при которых можно определить положение точки в пространстве.
2. Указать, сколько проекций может иметь точка в пространстве на плоскости проекций.
3. Указать названия плоскостей проекций и их обозначения.
4. Указать каким образом располагаются плоскости проекций относительно друг друга.
5. Указать названия прямых линий, по которым пересекаются плоскости проекций.
6. Показать обозначение точки пересечения плоскостей проекций.
7. Показать обозначение точек проекций на плоскостях проекций.
8. Объяснить получение эпюра или комплексного чертежа.
9. Объяснить назначение эпюра.
10. Объяснить назначение координат точки.
11. Объяснить возможность переноса координат точки по оси Y.
12. Объяснить значение координат точки А (6, 10, 4).
После теоретического закрепления материала, обучающиеся выполняют индивидуальные практические задания на построение комплексного чертежа точки по заданным координатам, в соответствии с вариантом обучающегося
(задание 4а). Работа выполняется на формате А4 с соблюдением линий чертежа. Название чертежа – «Графическая работа №4. Проекции точки».
Построение комплексного чертежа прямой
Всякую линию, в том числе и прямую, можно рассматривать как множество последовательно расположенных точек в пространстве, а проекцию прямой АВ на плоскость Н – как множество проекций точек данной прямой (рисунок 44).
Положение прямой в пространстве определяют две её точки. Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком . Чтобы построить проекции отрезка АВ, достаточно построить проекции его крайних точек. Соединив прямыми одноименные проекции этих точек, получим проекции отрезка (рисунок 45).
Рисунок 45 – Проекции отрезка
Положение отрезка прямой в пространстве определяется двумя его проекциями. Чтобы найти третью проекцию отрезка, необходимо построить третьи проекции точек, ограничивающих отрезок. На рисунке 45а,б стрелками показан ход построения профильной проекции а""б"" отрезка АВ по заданным горизонтальной ав и фронтальной а"в" проекциям.
Закрепление материала:
По заданным координатам точек отрезка АВ построить комплексный чертёж в соответствии со своим вариантом (задание 13, 14, 15). Работа выполняется на формате А4, с соблюдением линий чертежа и обозначение точек на плоскостях проекций (задание 4б).
Название чертежа – «Графическая работа №4. Проекции отрезка».
Чтобы построить изображение предмета, сначала изображают отдельные его элементы в виде простейших элементов пространства. Так, изображая геометрическое тело, следует построить его вершины, представленные точками; ребра, представленные прямыми и кривыми линиями; грани, представленные плоскостями и т.д
Правила построения изображений на чертежах в инженерной графике основываются на методе проекций. Одно изображение (проекция) геометрического тела не позволяет судить о его геометрической форме или форме простейших геометрических образов, составляющих это изображение. Таким образом, нельзя судить о положении точки в пространстве по одной ее проекции; положение ее в пространстве определяется двумя проекциями.
Рассмотрим пример построения проекции точки А , расположенной в пространстве двугранного угла (рис. 60). Одну из плоскостей проекции расположим горизонтально, назовем ее горизонтальной плоскостью проекций и обозначим буквой П 1 . Проекции элементов пространства на ней будем обозначать с индексом 1: А 1 , а 1 , S 1 ... и называть горизонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).
Рис. 60 Точка, расположенная в пространстве двугранного угла
Вторую плоскость расположим вертикально перед наблюдателем, перпендикулярно первой, назовем ее вертикальной плоскостью проекций и обозначим П 2 . Проекции элементов пространства на ней будем обозначать с индексом 2: А 2 , и называть фронтальными проекциями (точки, прямой, плоскости). Линию пересечения плоскостей проекций назовем осью проекций .
Спроецируем точку А ортогонально на обе плоскости проекций:
АА 1 _|_ П 1 ;AА 1 ^П 1 =A 1 ;
АА 2 _|_ П 2 ;AА 2 ^П 2 =A 2 ;
Проецирующие лучи АА 1 и АА 2 взаимно перпендикулярны и создают в пространстве проецирующую плоскость АА 1 АА 2 , перпендикулярную обеим сторонам проекций. Эта плоскость пересекает плоскости проекций по линиям, проходящим через проекции точки А .
Чтобы получить плоский чертеж, совместим горизонтальную плоскость проекций П 1 с фронтальной плоскостью П 2 вращением вокруг оси П 2 /П 1 (рис. 61, а). Тогда обе проекции точки окажутся на одной линии, перпендикулярной оси П 2 /П 1 . Прямая А 1 А 2 , соединяющая горизонтальную А 1 и фронтальную А 2 проекции точки, называется вертикальной линией связи .
Рис. 61 Совмещение горизонтальной плоскости проекций с фронтальной плоскостью
Полученный плоский чертеж называется комплексным чертежом. Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.
Две связанные между собой ортогональные проекции точки однозначно определяют ее положение относительно плоскостей проекций. Если определить положение точки а относительно этих плоскостей (рис. 61, б) ее высотой h (АА 1 =h) и глубиной f(AA 2 =f) , то эти величины на комплексном чертеже существуют как отрезки вертикальной линии связи. Это обстоятельство позволяет легко реконструировать чертеж, т. е. определить по чертежу положение точки относительно плоскостей проекций. Для этого достаточно в точке А 2 чертежа восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа (считая ее фронтальной) длиной, равной глубине f . Конец этого перпендикуляра определит положение точки А относительно плоскости чертежа.
Рассмотрим проецирование точки на три и две плоскости проекций. В пространстве зададим прямоугольный параллелепипед AA 2 A z A 3 A 1 A x OA y (рис. 2.1). Свойства этой фигуры известны из курса геометрии средней школы: ребра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны друг другу; каждая грань – прямо-
угольник; любое ребро параллельно трем ребрам и перпендикулярно восьми ребрам; параллельные ребра имеют одинаковую длину.
Через ребра, выходящие из вершины O, проведем оси x, y, z (рис. 2.2). Система Oxyz является декартовой системой координат (оси перпендикулярны, единица измерения одинакова по всем осям, точка O – начало координат).
Через грани, проходящие через точку O, проведем плоскости П 1 , П 2 , П 3 (рис. 2.3). Тогда оси x и y принадлежат плоскости П 1 (горизонтальная плоскость проекций), оси x и z принадлежат П 2 (фронтальная плоскость проекций), оси y и z принадлежат П 3 (профильная плоскость проекций). Пространство делится плоскостями проекций П 1 , П 2 и П 3 на восемь частей – октантов. Номера их показаны на рис. 2.3.
Пусть точка А является точкой пространства, для которой мы хотим построить комплексный чертеж. Тогда, ортогонально проецируя точку А на П 1 , получим точку А 1 . Действительно, точка А 1 принадлежит П 1 , ребро АА 1 перпендикулярно плоскости П 1 , т. е. А 1 – ортогональная проекция точки А на плоскость П 1 . Точка А 1 – горизонтальная проекция точки А. Ортогонально проецируя точку А на П 2 , получим А 2 (фронтальная проекция точки А), ортогонально проецируя точку А на П 3 , получим А 3 (профильная проекция точки А). Доказательство такое же, как и для проекции А 1 . Обратим внимание на то, что при проецировании точки на две плоскости проекций фигура AA 1 A x A 2 – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна оси Ox.
Безразмерное число, по абсолютной величине равное расстоянию от точки А до плоскости проекций и взятое со знаком, называется координатой точки. Так, например, координата x A (измеряется вдоль оси x) по абсолютной величине равна длине отрезка А 3 А и положительна, если точка А находится в том же полупространстве относительно плоскости П 3 , что и положительная полуось оси x. В противном случае координата отрицательна. Все ребра параллелепипеда, параллельные и равные А 3 А будем называть координатными отрезками x A . Это отрезки А 3 А, А y А 1 , ОА x , А z А 2 . Длины этих отрезков, взятые со знаком, являются координатой x А точки А. Аналогично вводятся и координатные отрезки y А и z А. Координатные отрезки y А: А 2 А; А x А 1 ; ОА y ; А z А 3 . Координатные отрезки z А: А 1 А; А y А 3 ; ОА z ; А x А 2 . Напомним, что ломаная ОА x А 1 А называется координатной ломаной. Ее звенья – координатные отрезки x А, y А, z А. Запись В(3; 2; 5) означает, что координата x В = 3, координата y В = 2, координата z В = 5.
Будем рассматривать только те точки и линии, которые расположены в плоскостях проекций и выполним повороты плоскостей П 1 и П 3 вокруг осей x и y соответственно до совмещения с плоскостью П 2 . Направления поворотов на рис. 2.3 показаны штриховыми линиями. Плоскость П 2 является плоскостью чертежа. После поворота оси координат займут положение, показанное на рис. 2.4.
 |
Ось y, двигаясь с плоскостью П 1 попадает на ось z, а двигаясь с плоскостью П 3 , попадает на ось x. Это второе положение оси y обозначим y". Достраивая ребра параллелепипеда, расположенные в плоскостях проекций, получим рис. 2.5. Поскольку ребра параллелепипеда, проходящие через вершину А x , взаимно перпендикулярны, то получим, что А 2 А x и А x А 1 расположены на одной прямой, перпендикулярной оси x. Аналогично отрезки А 2 А z и А z А 3 расположены на одной прямой, перпендикулярной оси z. Прямые (А 1 А 2) и (А 2 А 3) называются линиями проекционной связи (иногда под линиями проекционной связи понимают соответствующие отрезки этих прямых).
На рис. 2.5 обозначены координатные отрезки x А, y А, z А. Для того чтобы обеспечить линейную связь между А 1 и А 3 , введем прямую k (постоянная прямая чертежа). Ломаную А 1 А k А 3 (или две пересекающиеся прямые А 1 А k и А k А 3) будем считать линией проекционной связи для А 1 и А 3 .
Таким образом, точке А пространства соответствует изображение на плоскости, состоящее из трех проекций А 1 , А 2 , А 3 , связанных между собой линиями проекционной связи, которое называется комплексным чертежом точки A в системе (П 1 П 2 П 3). Этот чертеж обратим, так как на нем присутствуют все три координатных отрезка, что устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и их изображениями на плоскости.
В курсе черчения, при изображении предметов на чертеже, горизонтальная проекция называется видом сверху, фронтальная – видом спереди, профильная – видом слева.
Если известны А 1 и А 2 , то А 3 можно построить. Достаточно провести через А 2 линию проекционной связи перпендикулярно оси z и через А 1 – ломаную линию проекционной связи. Пересечение этих линий и будет точкой А 3 . Кроме того, на чертеже, содержащем только А 1 и А 2 , присутствуют все координатные отрезки, т. е. такой чертеж тоже обратим. Изображение точки А, состоящее из проекций А 1 и А 2 , связанных между собой линией проекционной связи, называется комплексным чертежом точки А в системе (П 1 П 2) или комплексным чертежом. При получении такого чертежа плоскость П 3 не вводится. Пространство двумя плоскостями П 1 и П 2 делится на четыре части – четверти. Номера четвертей совпадают с номерами первых четырех октантов.
Для построения комплексного чертежа точки А(x А, y А, z А) необходимо построить по координатам А 1 (x А, y А) и А 2 (x А, z А). Если рассматривается комплексный чертеж в системе (П 1 П 2 П 3), то можно по координатам построить А 3 (y А, z А), при этом используется ось y". Можно А 3 построить и по линиям проекционной связи. При откладывании координатных отрезков на отрицательных полуосях необходимо обратить внимание на то, что отрицательные полуоси одних осей совпадают с положительными полуосями других осей.
На рис. 2.6 приведены комплексные чертежи в системе (П 1 П 2 П 3) точек А(3; 4; 2) и В(2; 3; –2), С(–1; 0; 3). Единица измерения помечена штрихами на координатных отрезках. Точка А находится в первом октанте, точка В – в четвертом октанте, точка С принадлежит плоскости П 2 . О точке С можно сказать, что она принадлежит пятому и шестому октантам одновременно. На рис. 2.7 приведены комплексные чертежи в системе (П 1 П 2) точек К(4; 2; 2) и L(5; –3; 4), M(6; –2; –3), N(1; 3; –5), F(–2; 3; 4). Точки К и F находятся в первой четверти, точка L – во второй, точка М – в третьей, точка N – в четвертой четверти.
Принадлежность точки определенной четверти или октанту можно выявить по знакам координат x, y, z этой точки. Для точек каждой четверти или октанта характерны определенные знаки координат. Можно представить координатные плоскости, оси координат (рис. 2.3) и мысленно построить координатную ломаную точки (ОA x А 1 А на рис. 2.3) и увидеть в какой четверти или октанте находится точка.
Знаки координат x, y, z в октантах: 1(+; +; +); 2(+; −; +); 3(+; −; −); 4(+; +; −); 5(−; +; +); 6(−; −; +); 7(−; −; −); 8(−; +; −).
 |
Знаки координат в четвертях: 1(±; +; +); 2(±; −; +); 3(±; −; −); 4(±; +; −).
В дальнейшем рассматриваются комплексные чертежи фигур в системе (П 1 П 2). Единица измерения по всем осям одинакова – один миллиметр и специально помечаться штрихами не будет.
Для однозначного определения положения точки в пространстве необходимо и достаточно иметь проекции на двух плоскостях проекций, но в инженерной практике при построении проекций различных предметов с целью полного выявления их формы часто используют больше двух плоскостей проекций. Поэтому рассмотрим построение проекций точки на трех плоскостях проекций (рис. 1, 2)
Рис. 1 Рис. 2
Одна из плоскостей проекций расположена горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций , и обозначается П 1 . Проекции элементов пространства на ней обозначаются с индексом 1: А 1 , а 1 , … и называются горизонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).
Плоскость, расположенная перед наблюдателем, перпендикулярно первой, называется фронтальной плоскостью проекций , и обозначается П 2 . Проекции элементов пространства на ней обозначаются с индексом 2: А 2 , а 2 , … и называются фронтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).
Плоскость, расположенная справа от наблюдателя перпендикулярно одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций, называется профильной плоскостью проекций , и обозначается П 3 . Проекции элементов пространства на ней обозначаются с индексом 3: А 3 , а 3 , … и называются профильными проекциями . Линию пересечения горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций принимают за ось координат х . Линию пересечения горизонтальной и профильной плоскостей проекций принимают за ось координат у . Линию пересечения фронтальной и профильной плоскостей проекций принимают за ось координат z .
Для получения комплексного чертежа (или Эпюра Монжа - рис. 4) – за плоскость чертежа принимают фронтальную плоскость проекций П 2 , горизонтальную плоскость проекций П 1 x , а профильную плоскость проекций П 3 совмещают с плоскостью чертежа вращением вокруг оси z . Чертеж – это две (или более) проекции точки, совмещенные на одной плоскости (плоскости чертежа) и связанные линиями проекционной связи. Прямая А 1 -А 2 , соединяющая горизонтальную и фронтальную проекцию точки, называется вертикальной линией связи; прямая А 2 - А 3 , соединяющая фронтальную и профильную проекции точки, называется горизонтальной линией связи.
Рассматривая чертеж точки, выделяют, что:
· две проекции точки принадлежат одной линии связи;
· линии связи перпендикулярны соответствующим осям координат;
· две проекции точки необходимо и достаточно для определения положения точки в пространстве, и две проекции точки определяют её третью проекцию.
Три основные плоскости проекций могут рассматриваться и как координатные плоскости, если точка задана координатами. Зная координаты точки можно построить её комплексный (рис. 3 а) и аксонометрический (рис. 3 б) чертеж.
Рис. 3 (а,б)
Задачи
Задача 4. Какие координаты надо знать, чтобы построить проекции точки?